Potenslagar matte 2
Potenser samt potenslagar - matematik 2
på grund av detta denna plats avsnittet behöver ni basala kunskaper inom multiplikation samt division.
Vad existerar enstaka potens?
En potens existerar en formulering var ni besitter ett bas upphöjt mot något. T.ex $4^3$ var 4 existerar basen samt 3 existerar potensen. detta uttalas likt “fyra upphöjt mot tre”.
inom den denna plats artikeln går oss igenom allt ni behöver känna till angående potenser samt hur lagarna fungerar.
Det innebär för att ni äger multiplicerat talet 4, tre gånger. $4^3=4 \cdot 4 \cdot 4$. detta inledande sättet för att nedteckna vid kallas på grund av potensform.
$a^b$ innebär för att oss mångfaldigar a tillsammans med sig egen b antal gånger.
Det existerar värt för att lägga tidsperiod vid för att förstå potenser eftersom dem återkommer inom samtliga kurser inom matematik, ej bara inom start.
För all kalkyl tillsammans med potenser finns detta olika lagar, vissa existerar vanligare än andra. ni kunna titta varenda potenslagar på denna plats nedanför.
Potenslagarna
Med hjälp från potenslagarna är kapabel ni åtgärda nästan varenda fakta, titta mot för att ni är kapabel dessa.
ni brukar även ett fåtal äga tillsammans dig en formelblad vid provet. Dessa existerar vanligt förekommande inom beräkningar samt framförallt vid lite mer sofistikerad nivå alternativt högre betygskriterier.
Med positiva anförande såsom helttalsexponent kunna potenslagarna tecknas vilket olika formler.
$a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}$
$\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \cdot y}$
$\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$
$(a \cdot b)^{x}=a^{x} \cdot b^{x}$
$a^{-x}=\frac{1}{a^{x}}$ var $a \neq 0$
$a^{\frac{1}{x}}=\sqrt[x]{a}$
$a^{0}=1$
Här existerar detta viktigt för att hålla koll vid baserna
Multiplikation samt Division tillsammans med olika potenser
För för att multiplicera ihop begrepp tillsammans med olika potenser behövs för att dem besitter identisk bas, oss förmå nämligen ej nyttja våra räkneregler till multiplikation angående dem äger olika bas.
Regeln existerar till multiplikation samt division tillsammans olika potenser existerar
$a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}$ samt $\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$
Beräkna $2^3 \cdot 2^2$ tillsammans hjälp från potensreglerna.
Vi börjar tillsammans för att notera ihop termerna i enlighet med den inledande regeln
$2^3 \cdot 2^2 = 2^{2+3}$
Detta kunna sedan beräknas
$2^{2+3}=2^5=32$
Beräkna $\frac{2^4}{2^2}$ tillsammans med potensreglerna.
Vi skriver ifall tillsammans med hjälp från den tredjeplats regeln
$\frac{2^4}{2^2}=2^{4-2}$
Och sedan kunna oss förenkla
$2^{4-2}=2^2=4$
Potens tillsammans olika baser
I dem fall för att ni äger olika baser därför måste ni tänka mot lite ytterligare, potensreglerna gäller ju ej inom dessa fall. inom vissa fall förmå ni räkna ut talen direkt samt inom andra fall därför måste ni utföra förenklingar.
oss önskar åstadkomma en scenario var oss besitter identisk bas överallt till för att behärska nyttja oss från potenslagarna.
Kolla vid exemplet nedan samt notera hur oss skriver ifall 8.
Beräkna $2^4 \cdot 8$ genom för att nedteckna allting vid basen 2.
Eftersom $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $ förmå oss nedteckna $8=2^3$
Detta ger oss
$2^4 \cdot 8=2^4 \cdot 2^3$
Och tillsammans den översta potensregeln
$2^4 \cdot 2^3=2^{4+3}=2^7=128$
Det går ej ständigt för att notera vid identisk bas, inom en sånt fall får ni räkna vid detta ni kan!
Potens tillsammans med potens
För potens liksom även besitter ett potens gäller den andra potensregeln, $\left(a^{x}\right)^{y}=a^{x \cdot y}$
Skriv $\left ( 3^2\right )^2$ såsom enstaka potens
Vi använder den femte regeln
$\left ( 3^2\right )^2=3^{2 \cdot 2}$
Som kunna förenklas till
$3^{2 \cdot 2}=3^4=81$
Potens tillsammans negativ exponent
En negativ exponent förmå inverteras, oss förmå “vända” vid den.
$a^{-2}=\frac{1}{a^2}$
Lös ekvationen $x^{-2}=\frac{1}{9}$
Om oss inverterar, skriv angående till
$\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9}$
Så inser oss att
$x^2=9$
$x= \pm 3$
Potens tillsammans exponent noll
“Allting upphöjt mot noll existerar ett”.
detta finns vissa undantag, bland annat $0^0$ samt $\inf ^0$, dessa existerar icke definierade. inom övrigt existerar varenda anförande upphöjt mot 0 lika tillsammans med 1.
$a^0 = 1$
En lätt matematisk förklaring förmå oss erhålla ur tredjeplats regeln.
$1=a^0 = a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n}=1…$
där n existerar något anförande.
Potens vid miniräknaren
för att räkna potens vid miniräknaren förmå ibland artikel klurigt.
ni behöver oftast nedteckna detta tillsammans 3^2=9
Potensfunktion
Det finns även något vilket heter potensfunktion, detta innebär för att din variabel äger ett exponent. oss går ej igenom detta speciellt många inom detta avsnitt, utan detta återkommer inom exponentialfunktioner på grund av matematik 2.
Ett modell vid potensfunktion existerar $f(x)=x^2$
Tiopotenser
En tiopotens existerar ett potens tillsammans basen 10 samt används ofta till för att förklara stora anförande.
Exponenten brukar artikel en heltal, mot modell $10^3$.
En många god minnesregel på grund av tiopotenser existerar för att talet inom exponenten avgör hur flera nollor liksom kommer efter ettan.
Talet $10^3=1000$ var oss kunna titta för att exponenten existerar 3 samt talet 1000 innehåller tre nollor.
Man förmå självklart även multiplicera enstaka tiopotens, kolla vid exemplet nedan.
Vad existerar $5 \cdot 10^2$?
$5 \cdot 10^2$ $= 5 \cdot 100$ $= 500$
Potensekvationer
En potensekvation existerar ett typ från ekvation var en ledet innehåller ett variabel upphöjt mot något anförande samt andra ledet innehåller enstaka konstant.
mot modell $x^3 = 27$.
Dessa existerar ganska grundlig samt oss går igenom dem närmare inom kapitlet angående just potensekvationer.
Potenser
Potenser kallas allmänt då man beräknar på grund av “upphöjt till“. Potenser samt potenslagarna existerar många användbara sätt för att uttrycka matematik vilket annars skulle bli många besvärlig för att studera samt nedteckna.
Man förmå yttra för att potenser existerar på grund av multiplikationen, vad multiplikationen existerar på grund av additionen. detta önskar yttra, multiplikation är kapabel ses liksom upprepad addition, samt vid identisk sätt är kapabel potensräkning ses liksom enstaka förkortning på grund av upprepad multiplikation. inom fysiken förekommer detta ofta vid bas från för att detta existerar extrema storleksskillnader mellan volymen vid en äpple samt enstaka planet.
inom matematiken brukar oss ej blanda äpplen samt planeter, dock oss behöver ändå ofta räkna tillsammans med stora anförande, samt stora multiplikationer, vilket snabbt blir många otympligt angående man ej kontrollerar eller är skicklig i potensräkning.
Tidigare besitter oss likt hastigast stött vid begreppet potenser, då oss lärde oss ifall räkneordning.
inom detta denna plats avsnittet bör oss vandra igenom begreppet potenser samt dem räknelagar vilket oss använder då oss beräknar tillsammans med potenser.
Potens, bas samt exponent
Ibland kunna man äga matematiska formulering var man upprepar identisk matematiska räkneoperationer flera gånger ifall. inom sådana lägen kunna detta artikel god för att behärska notera detta vid en mer kompakt sätt, samtidigt likt betydelsen från formulering bevaras.
Till modell förmå man titta multiplikation liksom en mer kompakt sätt för att uttrycka upprepad addition.
$$5+5+5+5$$
kan oss ju istället nedteckna som
$$5\cdot 4$$
vilket existerar enklare.
Det finns enstaka liknande genväg då detta gäller multiplikation:
$$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$
kan oss istället nedteckna som
$$5^4$$
vilket utläses vilket "fem upphöjt mot fyra" samt betyder just talet \(5\) gånger sig självt fyra gånger.
vid datorer samt miniräknare används tecknet ^ till för att företräda potenser: \(5\)^\(4\).
Ett anförande skrivet vid den på denna plats formen kallas till en potens. inom uttrycket \(5^4\) kallas siffran \(5\) på grund av bas samt siffran \(4\) på grund av exponent.
$$bas^{exponent}=potens$$
Det finns en antal potenslagar likt existerar god för att komma minnas samt vilket talar ifall på grund av oss hur oss bör räkna tillsammans potenser.
Multiplikation från potenser tillsammans med identisk bas
Om oss äger numeriskt värde potenser tillsammans identisk bas samt bör multiplicera dessa potenser, då är kapabel oss notera detta likt inom nästa exempel:
$$ \\ {5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5={5}^{{}^{6}}$$
Detta är kapabel även skrivas
$${5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}={5}^{{}^{2+4}}={5}^{{}^{6}}$$
Eftersom på grund av något anförande, såsom oss kallar a, gäller alltså att
$$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^6$$
Vilket uttrycks allmänt som
$$ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$$
I mening säger oss för att nära multiplikation från potenser adderas exponenterna ifall potenserna besitter gemensam bas.
Division från potenser tillsammans identisk bas
På motsvarande sätt liksom nära multiplikation från potenser tillsammans med identisk bas, är kapabel man notera enstaka division från numeriskt värde potenser tillsammans med identisk bas vilket inom nästa exempel:
$$\frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}={3}^{{}^{3}} $$
Man är kapabel även nedteckna detta som
$$ \frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}={3}^{{}^{6-3}}={3}^{{}^{3}} $$
och allmänt som
$$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$
$$\text{där}\;a \neq 0 $$
I mening säger oss för att nära division från potenser subtraheras exponenterna ifall potenserna besitter gemensam bas.
Potens från enstaka potens
Har oss en potensuttryck samt bör beräkna potensen från detta, då får oss ett uppställning såsom förmå titta ut såsom inom detta på denna plats exemplet:
$$ (11^3)^4=11^3\cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3$$
Om oss tillämpar regeln ifall multiplikation från potenser tillsammans identisk bas, vilket oss kom fram mot tidigare inom detta på denna plats avsnittet, upprepade gånger, då får vi
$$ 11^3 \cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$
Vi vet att
$$3+3+3+3=3\cdot4=12$$
Därför gäller
$$ (11^3)^4=11^{3\cdot \, 4}=11^{12} $$
Allmänt blir detta
$$ (a^x)^y = a^{x \cdot \, y}$$
Potens från enstaka produkt
Vi kunna även äga potensuttryck vilket äger mer komplicerade baser.
Anta mot modell för att basen utgörs från enstaka vara, således här
$$(5x)^2$$
där \(x\) existerar något okänt tal.
Hur utför man då?
Eftersom både \(5\):an samt \(x\):et existerar upphöjt mot \(2\) är kapabel oss istället notera uttrycket som
$$(5x)^2=(5x)\cdot(5x)=5^2\cdot x^2=25x^2$$
Allmänt gäller att
$${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$$
Potens från ett kvot
På en liknande sätt vilket inom fallet ovan, var basen inom enstaka potens utgjordes från ett vara, kunna man beräkna ett potens från enstaka kvot.
inom dessa fall förmå oss äga en potensuttryck liknande nästa exempel:
$$\left ( \frac{2x}{3} \right ) ^3$$
Här utgörs potensens bas från kvoten \(\frac{2x}{3}\), medan potensens exponent existerar lika tillsammans med 3.
Denna potens är kapabel oss, tillsammans hjälp från regeln på grund av multiplikation från bråktal, notera ifall som
$$\left ( \frac{2x}{3} \right )^3= \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3= \frac{(2x)^3}{3^3}$$
Vi kunna gå vidare för att förenkla uttrycket, dock nöjer oss sålunda denna plats samt konstaterar för att oss är kapabel nedteckna angående ett potens från ett kvot i enlighet med nästa generella team (så länge \(b ≠ 0\)):
$$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$$
Potenser tillsammans med negativa exponenter
Om oss besitter bråket
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}$$
och önskar förenkla detta, får oss genom regeln på grund av division från potenser tillsammans gemensam bas att
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}={4}^{{}^{2-4}}={4}^{{}^{-2}}$$
Vi förmå även titta detta som
$$\frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}=\frac{4\cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
Det på denna plats innebär för att nästa samband gäller:
$${4}^{{}^{-2}}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
I detta allmänna fallet är kapabel oss notera detta som
$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$
där \(a ≠ 0\).
Potenser tillsammans exponenten noll
Vi vet att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}={5}^{{}^{3-3}}={5}^{{}^{0}} $$
Men oss vet även att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}=1$$
Alltså måste detta innebära att
$$ {5}^{{}^{0}}=1$$
Allmänt blir detta
$$ {a}^{0}=1$$
$$a\neq 0$$
och tillsammans mening för att ifall exponenten existerar noll existerar potensen lika tillsammans med \(1\).
Potenslagar
Nu besitter oss gått igenom en antal generella regler likt gäller då oss beräknar tillsammans med potenser, vad oss kallar potenslagarna.
Låt oss summera vilket oss kommit fram mot hittills:
Räkneordning tillsammans med potenser
Som oss nämnde inom start från detta denna plats kapitlet, påverkas räkneordningen av ifall en formulering innehåller potenser.
Prioriteringsreglerna (räkneordningen) tillsammans potenser inkluderade, lyder nu:
- Parenteser
- Potenser
- Multiplikation samt division
- Addition samt subtraktion
Har oss mot modell nästa uttryck
$$2 \cdot (3-2^3)+\frac{4}{2}$$
så kalkylerar oss ursprunglig uttrycket inom parentesen, sedan potenser, därefter multiplikation samt division, samt slutligen addition samt subtraktion.
Att beräkna enstaka parentes innebär för att oss tillämpar räkneordningen vid parentesuttrycket separat:
$$(3-2^3)=(3-8)=(-5)$$
När oss idag existerar klara tillsammans för att beräkna uttrycket inom parentesen, ser oss för att detta återstående uttrycket ej innehåller några fler parenteser samt ej heller några potenser, sålunda oss tar oss an multiplikation samt division härnäst:
$$2\cdot (-5) +\frac{4}{2}=(-10)+2$$
I sista steget genomför oss den återstående additionen samt får
$$-10+2=-8$$